Quando abbiamo trattato dell’algebra geometrica 2D, abbiamo capito che i bivettori sono in grado di ruotare i vettori. Siamo curiosi di verificare se la cosa funziona anche in 3D.
Calcoliamo il prodotto tra un vettore ed un bivettore: il vettore si può scomporre in una componente nel piano del bivettore ed una perpendicolare ad esso. Dato che non possiede una forma, possiamo rimodellare il bivettore in modo che risulti
![](https://geometrica.vialattea.net/wp-content/uploads/2020/12/prod_vec_bivec-1024x215.png)
Il risultato del prodotto sarà composto da due parti: ovvero il vettore
ruotato di
nel piano di F ed il trivettore
.
Quindi effettivamente il bivettore ha ruotato l a componente del vettore che giaceva nel suo piano, ma ha anche generato un volume che, per la rotazione che andiamo cercando, rimane … indigesto.
Se proviamo a scambiare i fattori, la rotazione di si inverte, ma il volume rimane identico.
Senza farci venire ulteriori mal di testa, la soluzione è già stata enunciata quando abbiamo parlato di rotori: il prodotto a sandwich è quel che ci vuole per generare una rotazione pura e far sparire il trivettore.
con perché
ruotato nel piano di
di
![](https://geometrica.vialattea.net/wp-content/uploads/2020/12/rotation_bivector.png)
e dopo lunghi e noiosissimi calcoli, otterremo la matrice di rotazione dei quaternioni:
![](https://geometrica.vialattea.net/wp-content/uploads/2020/12/quaternion_matrix.png)
che dimenticheremo molto volentieri, affidandoci totalmente alla potenza del prodotto a sandwich!
Le rotazioni in 3D NON sono commutative e questo è un importante elemento a favore dell’utilizzo dell’AG, la quale porta la non-commutatività nel suo DNA.
Per calcolare due rotazioni successive, dunque procederemo in questo modo:
rappresenta la prima rotazione e la seconda agirà sul risultato della prima, ovvero:
in 3D (e soltanto in 3D) possiamo identificare un’unica rotazione come risultante delle due sopramenzionate:
che infine corrisponde ad una rotazione di 120 gradi su un piano che facciamo fatica ad identificare: per la nostra immaginazione è molto più facile visualizzare l’asse di rotazione.
Per trovarlo ricorriamo alla nota dualità: