Gli studenti più svegli, nel corso degli anni, notano che certi argomenti nell’insegnamento della fisica non sono ben fondati, anzi. Soprattutto nei corsi di ingegneria, si tende ad usare certe tecniche matematiche senza farsi troppe domande, purché funzionino.
Ma le persone che per anni hanno addestrato l’intelletto con il rigore della matematica e la puntigliosità della filosofia, non possono lasciar passare sottotraccia certe anomalie.
Eccone alcune:
- è bellissima l’unificazione della fisica, dal punto di vista dei contenuti, ma dal punto di vista dei linguaggi e delle tecniche matematiche, perché ci troviamo di fronte un panorama così vario?
- al liceo scientifico si studiano persino le strutture algebriche (gruppi, anelli, campi). Quando si comincia a studiare fisica viene presentato il linguaggio dei vettori, che promette di essere la chiave per dominare il mondo fisico, eppure ci si accorge che non esiste un’unica operazione di moltiplicazione tra vettori (figuriamoci la divisione).
Vengono invece presentati due prodotti … a metà e nemmeno invertibili.
Difetti del prodotto scalare
Difetti del prodotto vettoriale
- nella fisica della scuola superiore vengono trattati come vettori delle grandezze che invece vettori non sono! Sono state chiamate vettori assiali perché questo problema era evidente, ma non è mai stato chiaro che si trattasse di quantità di natura completamente differente.
- i numeri complessi mantengono ancora un alone di mistero, come diceva Leibniz, sembrano “sospesi tra l’essere ed il non-essere”. Nei libri tecnici ancora oggi leggiamo frasi di questo tono: Although complex numbers are fundamentally disconnected from our reality, they can be used to solve science and engineering problems (The Scientist and Engineer’s Guide to Digital Signal Processing, S.W. Smith, California Technical Publishing).
Eppure in fisica essi giocano un ruolo essenziale nelle equazioni della meccanica quantistica e sono uno strumento indispensabile nelle applicazioni dell’elettrotecnica. Ciò che sconforta è che vengono trattati con il solito approccio “[…] ne consideriamo la sola parte reale”.
La descrizione della fisica con l’analisi vettoriale che si inizia ad imparare al liceo non è – come si potrebbe pensare – l’unica via possibile. Infatti, questa risulta essere un percorso storico che si è affermato all’inizio del secolo scorso. A trattare l’elettromagnetismo con i vettori furono Gibbs e Heaviside ma, ad essere onesti, all’epoca esisteva già un’altra via: quella dei quaternioni e in generale il formalismo dell’algebra geometrica, sviluppata da Clifford, Hamilton e Grassmann. Eppure, il formalismo di Gibbs e Heaviside trovò ampia diffusione perché l’alternativa presentava problemi ancora più gravi.
La sintesi moderna, che qui presentiamo, è un deciso passo in avanti nella comprensibilità della matematica che descrive il mondo fisico. Nulla cambia per quanto riguarda i risultati dei calcoli, ma il loro senso geometrico viene finalmente chiarito.
Dovessimo esprimere in forma di manifesto i vantaggi dell’Algebra Geometrica (che spesso indicheremo con AG), eccone alcuni.