Lo pseudoscalare – Algebra geometrica

Il numero delle basi dei vari elementi di un’algebra geometrica di dimensione $n$ si ricava dalla riga $n+1$ del triangolo di Pascal. Questa struttura è simmetrica e quindi, così come vi è solo un tipo di scalare, avremo una sola base per l’elemento di grado massimo che prenderà il nome di pseudoscalare, indipendentemente dalla dimensione $n$ .

– in 1D lo pseudoscalare è semplicemente $e_1$
– in 2D lo pseudoscalare è $e_1e_2$ (= $- e_2e_1$ )
– in 3D lo pseudoscalare è $e_1e_2e_3$ (= $- e_3e_2e_1$ )
– in 4D lo pseudoscalare è $e_1e_2e_3e_4$ (= $e_4e_3e_2e_1$ )

Abbiamo visto che sia in 2D che in 3D lo pseudoscalare al quadrato vale -1, ma non si tratta di una regola generale: per algebre a segnatura uniforme abbiamo la seguente sequenza

dimensione	1	2	3	4	5	6	7	8 …
segno di $I^2$	+	–	–	+	+	–	–	+

Lo pseudoscalare in 2D anticommuta con i vettori ed infatti per questo motivo non lo identifichiamo con l’unità immaginaria $i$ . In 3D, invece, verifichiamo che non solo commuta con i vettori ma con tutti gli elementi. Insomma, la proprietà di commutazione dello pseudoscalare dipende sia dalla dimensione dello spazio che dal grado dell’elemento, secondo la seguente tabella:

Il nome pseudoscalare deriva dal fatto che si comporta come uno scalare, cioè è immune alle rotazioni ma subisce la trasformazione di parità (l’inversione di tutti gli assi spaziali). In 3D (e in generale in dimensioni dispari) si trasforma nel suo negativo, mentre in dimensioni pari resta invariante — in 2D, ad esempio, invertire entrambi gli assi equivale a una rotazione di 180°, che lo pseudoscalare non “sente”.

Ricordiamo alcune importanti proprietà dello pseudoscalare $I$ di $\mathbb{G}^3$ :
$I^2 = -1$
$I^\dagger = -I$
$IM = MI$ per ogni multivettore in $\mathbb{G}^3$
$\begin{equation} I^{-1} = \frac{I^\dagger}{|I^2|} = -I$

In generale, in uno spazio a $n$ dimensioni, se $I^{-1} = I^\dagger$ allora $I^{-1} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}I$
quindi abbiamo visto che in 2D e 3D $I^{-1} = -I$ e poi la sequenza dei segni per dimensioni superiori procede alternandosi a coppie: $+ + - - + + …$