Lo pseudoscalare

Il numero delle basi dei vari elementi di un’algebra geometrica di dimensione n si ricava dalla riga n+1 del triangolo di Pascal. Questa struttura è simmetrica e quindi, così come vi è solo un tipo di scalare, avremo una sola base per l’elemento di grado massimo che prenderà il nome di pseudoscalare, indipendentemente dalla dimensione n.

– in 1D lo pseudoscalare è semplicemente e_1
– in 2D lo pseudoscalare è e_1e_2 (= - e_2e_1)
– in 3D lo pseudoscalare è e_1e_2e_3 (= - e_3e_2e_1)
– in 4D lo pseudoscalare è e_1e_2e_3e_4 (= e_4e_3e_2e_1)

Abbiamo visto che sia in 2D che in 3D lo pseudoscalare al quadrato vale -1, ma non si tratta di una regola generale: per algebre a segnatura uniforme abbiamo la seguente sequenza

dimensione 1 2 3 4 5 6 7 8 …
segno di I^2 + + + +

Lo pseudoscalare in 2D anticommuta con i vettori ed infatti per questo motivo non lo identifichiamo con l’unità immaginaria i. In 3D, invece, verifichiamo che non solo commuta con i vettori ma con tutti gli elementi. Insomma, la proprietà di commutazione dello pseudoscalare dipende sia dalla dimensione dello spazio che dal grado dell’elemento, secondo la seguente tabella:

Il nome pseudoscalare deriva dal fatto che si comporta come uno scalare, cioè è immune alle rotazioni ma subisce la trasformazione di parità, ovvero l’inversione di tutti gli assi spaziali, In questo caso si trasforma nel suo negativo.

Ricordiamo alcune importanti proprietà dello pseudoscalare I di \mathbb{G}^3:
I^2 = -1
I^\dagger  = -I
IM = MI per ogni multivettore in \mathbb{G}^3
\begin{equation} I^{-1} = \frac{I^\dagger}{|I^2|} = -I

In generale, in uno spazio a n dimensioni, se I^{-1} = I^\dagger allora I^{-1} = (-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}I
quindi abbiamo visto che in 2D e 3D I^{-1} = -I e poi la sequenza dei segni per dimensioni superiori procede alternandosi a coppie: + + - - + + …

Leave a Reply

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *