In questa pagina riassumiamo i risultati più importanti che abbiamo ricavato nelle pagine precedenti, riguardanti le principali operazioni geometriche.
La proiezione
Dato un sottospazio B dotato di prodotto scalare, un vettore 
si può rapportare ad esso secondo due componenti: la più simile e la più dissimile, chiamate opportunamente proiezione e reiezione.
Il calcolo di queste due componenti è immediato:
proiezione
reiezione
A proiettarsi possono anche essere blades, vediamo subito dalla figura che la proiezione di 
su B è data dalla composizione delle proiezioni dei singoli vettori componenti: 
La proiezione è utile anche per ricavare l’angolo tra due sottospazi: nel caso di vettori nel piano l’angolo è dato da:
mentre in dimensioni superiori, se la blade A si proietta su B avremo:
e dunque potremo generalizzare l’espressione a:
Proviamo a calcolare le proiezioni di un bivettore sui piani fondamentali.
Ricordando i prodotti esterni dei versori:
otterremo finalmente che il bivettore blu 
ha come componenti:
Esercizio: verificare che 
La rotazione
Un’algebra di tutto rispetto scala facilmente con la dimensione e prescinde totalmente da concetti validi solo in particolari dimensioni. Ad esempio, per consuetudine dell’immaginazione umana, ci viene naturale esprimere le rotazioni specificando un asse. Ebbene, in quattro dimensioni e più, questo non è più vero perché in una rotazione 4D l’invariante non è un solo asse ma anche quello ad esso perpendicolare, dunque è un piano.
Il modo corretto, elegante e fruttuoso di specificare una rotazione è in un piano, che naturalmente identificheremo con un bivettore B. L’espressione generale da utilizzare quindi sarà:
Riflessione di un vettore
Se vogliamo riflettere il vettore rispetto al piano individuato dal versore normale 
, possiamo scomporlo nelle componenti ed il vettore 
riflesso manterrà la componente tangente, invertendo quella normale:
laddove la componente normale al piano è data dal prodotto scalare di su :
esprimendo il prodotto scalare come semisomma della parte simmetrica del prodotto geometrico:
Quindi se vogliamo esprimere una rotazione di angolo 
dovremo individuare due vettori nel piano di rotazione che incidono con un angolo 
ed esprimere la composizione delle due riflessioni:
o più sinteticamente, visto che il rotore è dato appunto dal prodotto geometrico di 
e 
la sequenza simmetrica dei vettori che compongono il rotore viene parafrasata con la simpatica espressione “prima metti i calzini, poi le scarpe, poi togli le scarpe e poi togli i calzini” (socks-shoes property).
Riflessione di un bivettore
Supponiamo ora di riflettere un bivettore B, formato ad esempio da 
rispetto ad un piano individuato dalla normale 
. Lo facciamo riflettendo e :
ricordando l’espressione 
avremo:
Quindi occorre fare attenzione: la formula di trasformazione è la stessa, ma nel caso di un bivettore non c’è il segno meno. Questo, peraltro, spiega la differenza tra vettori e bivettori nella trasformazione di parità, che consiste appunto nella riflessione speculare.
In generale, per la riflessione di un multivettore 
di grado 
su un multivettore di grado 
avremo:
Ad esempio i trivettori si trasformano per riflessione allo stesso modo dei vettori, cioè cambiano segno (chiralità).