La riflessione – Algebra geometrica

Riflessione di un vettore

Se vogliamo riflettere il vettore $\pmb{a}$ rispetto al piano individuato dal versore normale $\pmb{\hat{n}}$ , possiamo scomporlo nelle componenti $\pmb{a} = a_T + a_N$ ed il vettore $\pmb{b}$ riflesso manterrà la componente tangente, invertendo quella normale:

$\pmb{b} = a_T - a_N = \pmb{a} - 2a_N$

laddove la componente normale al piano è data dal prodotto scalare di $\pmb{a}$ su $\pmb{\hat{n}}$ :

$\pmb{b} = \pmb{a} - 2 (a \cdot n) n$

esprimendo il prodotto scalare come semisomma della parte simmetrica del prodotto geometrico:

$\begin{equation} \pmb{b} = a - 2 \frac{an+na}{2} n = a - an^2 -nan = -nan$

Riflessione di un bivettore

Supponiamo ora di riflettere un bivettore B, formato ad esempio da $a \wedge b$ rispetto ad un piano individuato dalla normale $n$ . Lo facciamo riflettendo $\pmb{a}$ e $\pmb{b}$ :

$B' = \pmb{a}' \wedge \pmb{b}' = (-nan) \wedge (-nbn)$

ricordando l’espressione $a \wedge b = 1/2 (ab-ba)$ avremo:

$B' = \pmb{a}' \wedge \pmb{b}' = (-nan) \wedge (-nbn) = 1/2 (nannbn - nbnnan) =$
$= 1/2 n(ab-ba)n = n(\pmb{a} \wedge \pmb{b}) = nBn$

Quindi occorre fare attenzione: la formula di trasformazione è la stessa, ma nel caso di un bivettore non c’è il segno meno. Questo, peraltro, spiega la differenza tra vettori e bivettori nella trasformazione di parità, che consiste appunto nella riflessione speculare.

In generale, per la riflessione di un multivettore $A$ di grado $j$ su un multivettore $B$ di grado $k$ avremo:

$A' = (-1)^{j(k+1)} BAB^{-1}$

Ad esempio i trivettori si trasformano per riflessione allo stesso modo dei vettori, cioè cambiano segno (chiralità).