Proiettare, ruotare, riflettere

In questa pagina riassumiamo i risultati più importanti che abbiamo ricavato nelle pagine precedenti, riguardanti le principali operazioni geometriche.

La proiezione

Dato un sottospazio B dotato di prodotto scalare, un vettore \pmb{a} si può rapportare ad esso secondo due componenti: la più simile e la più dissimile, chiamate opportunamente proiezione e reiezione.
Il calcolo di queste due componenti è immediato:

\pmb{a} = a_T + a_N
a_T = (a \cdot B) / B proiezione
a_N = (a \wedge B) / B reiezione

A proiettarsi possono anche essere blades, vediamo subito dalla figura che la proiezione di u \wedge v su B è data dalla composizione delle proiezioni dei singoli vettori componenti: P(u) \wedge P(v)

La proiezione è utile anche per ricavare l’angolo tra due sottospazi: nel caso di vettori nel piano l’angolo è dato da:

\begin{equation} \cos \theta = \frac{|P_u(v)|}{|v|}

mentre in dimensioni superiori, se la blade A si proietta su B avremo:

\begin{equation} \cos \theta = \frac{a}{h} = \frac{ab}{hb} = \frac{|P_B(A)|}{|A|}

e dunque potremo generalizzare l’espressione a:

\begin{equation} \cos \theta = \frac{|(A \cdot B)/B|}{|A|}= \frac{|(A \cdot B)|}{|A||B|}}

Proviamo a calcolare le proiezioni di un bivettore sui piani fondamentali.

\pmb{a} \wedge \pmb{b} = (a_x e_1 + a_y e_2 + a_z e_3) \wedge (b_x e_1 + b_y e_2 + b_z e_3) =

a_x b_x \, e_1\wedge e_1 + a_x b_y \, e_1\wedge e_2 + a_x b_z \, e_1\wedge e_3 \,+
a_y b_x \, e_2\wedge e_1 + a_y b_y \, e_2\wedge e_2 + a_y b_z \, e_2\wedge e_3 \,+
a_z b_x \, e_3\wedge e_1 + a_z b_y \, e_3\wedge e_2 + a_z b_z \, e_3\wedge e_3

Ricordando i prodotti esterni dei versori:

otterremo finalmente che il bivettore blu B ha come componenti:

B_x_y = (a_x b_y - b_x a_y)
B_x_z = (a_x b_z - b_x a_z)
B_y_z = (a_y b_z - b_y a_z)

Esercizio: verificare che |a \wedge b|^2 = area_{12}^2 + area_{23}^2 + area_{31}^2

La rotazione

Un’algebra di tutto rispetto scala facilmente con la dimensione e prescinde totalmente da concetti validi solo in particolari dimensioni. Ad esempio, per consuetudine dell’immaginazione umana, ci viene naturale esprimere le rotazioni specificando un asse. Ebbene, in quattro dimensioni e più, questo non è più vero perché in una rotazione 4D l’invariante non è un solo asse ma anche quello ad esso perpendicolare, dunque è un piano.

Il modo corretto, elegante e fruttuoso di specificare una rotazione è in un piano, che naturalmente identificheremo con un bivettore B. L’espressione generale da utilizzare quindi sarà:

M' = RMR^{-1} = e^{-B \theta /2} M e^{B \theta /2}

Riflessione di un vettore

Se vogliamo riflettere il vettore \pmb{a} rispetto al piano individuato dal versore normale \pmb{\hat{n}}, possiamo scomporlo nelle componenti \pmb{a} = a_T + a_N ed il vettore \pmb{b} riflesso manterrà la componente tangente, invertendo quella normale:

\pmb{b} = a_T - a_N = \pmb{a} - 2a_N

laddove la componente normale al piano è data dal prodotto scalare di \pmb{a} su \pmb{\hat{n}}:

\pmb{b} = \pmb{a} - 2 (a \cdot n) n

esprimendo il prodotto scalare come semisomma della parte simmetrica del prodotto geometrico:

\begin{equation} \pmb{b} = a - 2 \frac{an+na}{2} n = a - an^2 -nan = -nan

Quindi se vogliamo esprimere una rotazione di angolo \theta dovremo individuare due vettori nel piano di rotazione che incidono con un angolo \theta/2 ed esprimere la composizione delle due riflessioni:

\pmb{v'} = -m(-n\pmb{v} n) m = mn \pmb{v} nm

o più sinteticamente, visto che il rotore è dato appunto dal prodotto geometrico di \pmb{m} e \pmb{n}

\pmb{v'} = R\pmb{v} R^{-1}

la sequenza simmetrica dei vettori che compongono il rotore viene parafrasata con la simpatica espressione “prima metti i calzini, poi le scarpe, poi togli le scarpe e poi togli i calzini” (socks-shoes property).

Riflessione di un bivettore

Supponiamo ora di riflettere un bivettore B, formato ad esempio da a \wedge b rispetto ad un piano individuato dalla normale n. Lo facciamo riflettendo \pmb{a} e \pmb{b}:

B' = \pmb{a}' \wedge \pmb{b}' = (-nan) \wedge (-nbn)

ricordando l’espressione a \wedge b = 1/2 (ab-ba) avremo:

B' = \pmb{a}' \wedge \pmb{b}' = (-nan) \wedge (-nbn) = 1/2 (nannbn - nbnnan) =
= 1/2 n(ab-ba)n = n(\pmb{a} \wedge \pmb{b}) = nBn

Quindi occorre fare attenzione: la formula di trasformazione è la stessa, ma nel caso di un bivettore non c’è il segno meno. Questo, peraltro, spiega la differenza tra vettori e bivettori nella trasformazione di parità, che consiste appunto nella riflessione speculare.

In generale, per la riflessione di un multivettore A di grado j su un multivettore B di grado k avremo:

A' = (-1)^{j(k+1)} BAB^{-1}

Ad esempio i trivettori si trasformano per riflessione allo stesso modo dei vettori, cioè cambiano segno (chiralità).

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