(ri)partiamo dalle basi

Nella chimica il gioco dell’Aufbau (costruzione) permette di ottenere la configurazione degli orbitali di un atomo aggiungendo progressivamente elettroni, secondo la sequenza energetica degli orbitali. In questo modo è possibile costruire l’intera tavola periodica degli elementi.

In modo simile, proviamo a costruire geometricamente l’intero spazio 3D partendo dagli elementi base, con pochissime regole di assoluta ragionevolezza.
Partiremo dunque dall’entità base per eccellenza, il punto, immaginato privo di estensione geometrica.
Due punti non coincidenti A e B individuano una entità che ha dimensione uno e possiamo immaginare che venga generata per estensione, ovvero trascinando A verso B. Questa entità si chiama vettore (dal latino veho = trasportare, viaggiare, andare) ed il nome stesso rivela l’idea di trasporto alla base della sua costruzione.
L’operazione di estensione invece la chiameremo prodotto esterno o wedge e verrà indicata col simbolo ⋀ (wedge significa “cuneo”, da cui il simbolo).
Non è irragionevole affermare che se spostiamo B verso A verrà generato un vettore di eguale direzione e lunghezza, ma di verso opposto, dunque possiamo senz’altro scrivere che:

\vec{v} &=& A\wedge B &=& - B\wedge A

Quindi è importante notare che l’operazione di wedge non è commutativa, anzi, è antisimmetrica!

Giusto per mostrare che il wedge si comporta bene, riportiamo le proprietà:

(\lambda a) \wedge b = \lambda(a \wedge b)la moltiplicazione per uno scalare è associativa
\lambda(a \wedge b) = (a \wedge b) \lambdala moltiplicazione per uno scalare è commutativa
a \wedge (b+c) = (a \wedge b) + (a \wedge c)il wedge è distributivo rispetto alla somma
(a \wedge b) \wedge c = a \wedge (b \wedge c)il wedge è associativo

Proseguendo nella nostra Aufbau, dopo aver costruito i vettori, possiamo prendere due vettori non allineati \pmb{a} e \pmb{b} ed immaginare che venga generata per estensione l’entità di dimensione 2 data dallo scorrimento di \pmb{a} lungo il vettore \pmb{b}.
A questa entità diamo il nome di bivettore e, allo stesso modo, è ragionevole pensare che questa area abbia un verso, perché se viene generata nel modo opposto, cioè facendo scorrere \pmb{b} lungo il vettore \pmb{a}, avrà estensione identica, ma verso opposto, come si vede dalla circolazione prodotta dai vettori.

Il bivettore è dotato di segno perché l’area è orientata

Sembra strano, ma il bivettore non ha forma definita: ha soltanto una giacitura, una estensione ed un verso. Alcuni li rappresentano come cerchi, altri come rettangoli. Altri ancora lasciano la rappresentazione coerente con il prodotto esterno, ovvero il parallelogramma.

Ormai l’Aufbau è inarrestabile: un altro vettore indipendente da \pmb{a} e \pmb{b}, ovvero al di fuori dal piano individuato da essi, è in grado di generare per estensione un volume per scorrimento del piano lungo R. Anche in questo caso il volume (chiamato trivettore) è dotato di segno: per convenzione è positivo se la terna è destrorsa. Come per i bivettori, anche i trivettori non hanno forma definita.

Gli elementi base dell’algebra geometrica 3D

L’algebra geometrica, dunque, vede come elementi base non solo i vettori, ma anche le aree ed i volumi.
Ora aggiungiamo all’intuizione geometrica un po’ di algebra.

Le basi dei vettori ordinari sono i versori e_1, e_2, e_3 per i quali vale la proprietà fondamentale (è il vero e proprio cuore dell’algebra geometrica)

e_1^2 = e_1e_1 = e_2^2 = e_2e_2 = e_3^2 = e_3e_3 = +1 (è una scelta!)

Queste basi possono essere combinate linearmente con coefficienti reali e danno origine ai vettori ordinari, che hanno grado uno:

\pmb{v} = v_1e_1 + v_2e_2 + v_3e_3

Possiamo anche combinare tra di loro le basi e_1, e_2, e_3, in modo da formare altre tre basi ma stavolta bidimensionali e orientate. Sebbene sia arbitraria la scelta di un e_i_j piuttosto che un e_j_i, indicheremo le basi dei bivettori 3D con e_1e_2, e_2e_3, e_3e_1 che si ricorda facilmente perché la sequenza è ciclica. Il prodotto tra le basi è anticommutativo, quindi:

e_2e_1 = - e_1e_2
e_3e_1 = - e_1e_3
e_3e_2 = - e_2e_3

Queste basi, analogamente ai vettori, possono essere combinate linearmente e danno origine ai bivettori, che hanno grado due:

\pmb{W} = w_1 e_1e_2 + w_2 e_2e_3 + w_3 e_3e_1

Il fatto che il prodotto delle basi sia anticommutativo ha una conseguenza importantissima: se proviamo a calcolare il quadrato di un qualsiasi bivettore, otteniamo che:

(e_1e_2)^2 &=& (e_1e_2)(e_1e_2) &=& e_1(e_2e_1)e_2 &=& e_1(-e_1e_2)e_2 &=& -e_1e_1e_2e_2 &=& -1

Gli elementi dell’algebra geometrica in tre dimensioni … in realtà manca lo scalare!

Infine possiamo combinare assieme tutte e tre le basi formando la quantità e_1e_2e_3 anch’essa dotata di segno perché orientata (è positiva quella definita da una terna destrorsa). Questa quantità è detta trivettore.

Come già visto per i bivettori, se calcoliamo il quadrato di un trivettore, ricordando che ogni scambio di elementi comporta una inversione di segno, otteniamo:

(e_1e_2e_3)^2 &=& (e_1e_2e_3)(e_1e_2e_3) &=& -1

Questa elegante generalizzazione dello spazio cartesiano \mathbb{R}^3 permette di definire e manipolare direttamente aree orientate e volumi orientati. Non solo: questa algebra accoglie tutte le combinazioni lineari di scalari, vettori, bivettori e trivettori.

Nello spazio fisico tridimensionale, quindi, possiamo definire enti geometrici a otto dimensioni che si chiamano multivettori. Essi sono composti da più elementi di grado diverso, a partire dallo scalare, che ha grado zero.

\pmb{M} = \alpha + \underbrace{v_1e_1 + v_2e_2 + v_3e_3}_\text{vettore} + \underbrace{w_1 e_1e_2 + w_2 e_2e_3 + w_3 e_3e_1}_\text{bivettore} + \beta e_1e_2e_3

Il multivettore sembra un mappazzone di entità eterogenee che non è consentito sommare. In realtà è analogo ai numeri complessi: è la somma di diverse componenti che formano un’unica entità.

Ricapitolando:

gradooggettovisualizzato comeestensione geometricaestensione algebrica
0scalarepuntonessunamagnitudine
1vettoresegmento orientatoesteso in una direzionelunghezza
2bivettorearea orientataesteso in due direzionisuperficie
3trivettorevolume orientatoesteso in tre direzionivolume

Esercizio: semplificare l’espressione e_2e_3e_2e_1e_3e_2e_2

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