Le matrici di Pauli

Nel 1927 il fisico tedesco Wolfgang Pauli elaborò una teoria dell’elettrone, che aveva al centro la grandezza spin, che non ha equivalente nella meccanica classica, pur essendo descritto talvolta come la rotazione dell’elettrone su se stesso.
Lo spin dell’elettrone ha valore semintero |S| = 1/2 e l’asse di spin in generale è dipendente dal tempo, potendo interagire anche con il campo elettromagnetico.

Pauli, non potendo utilizzare l’algebra geometrica, mise in campo l’armamentario matematico del tempo, impiegando vettori, matrici e numeri complessi.
Alla base della teoria ci sono le seguenti tre matrici (più la matrice identità, a dire il vero), associate ma non identificate con le tre dimensioni dello spazio 3D:

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix} \:\: \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0   \end{pmatrix}\:\: \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}

che hanno le seguenti proprietà:

\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = 1
\sigma_x \sigma_y = - \sigma_y \sigma_x = i \sigma_z
\sigma_y \sigma_z = - \sigma_z \sigma_y = i \sigma_x
\sigma_z \sigma_x = - \sigma_x \sigma_z = i \sigma_y
\sigma_x \sigma_y \sigma_z = i
\text{Tr}\:\sigma_x = \text{Tr}\:\sigma_y = \text{Tr}\:\sigma_z = 0
\det \sigma_x = \det \sigma_y = \det \sigma_z = -1

Fa un certo effetto verificare che tutte le relazioni precedenti sono soddisfatte nientemeno che dalle base dell’algebra geometrica \mathbb{G}^3 e quindi le matrici di Pauli si possono considerare una rappresentazione matriciale dell’algebra geometrica \mathbb{G}^3.

Chi volesse approfondire le relazioni tra l’algebra geometrica e le matrici di Pauli, troverà un ottimo riferimento nel recente libro Campi elettromagnetici con l’algebra geometrica, Ad esempio, vi si trova la formulazione del generico multivettore 3D
M = a_0 + \pmb a + \pmb{\hat B} + t
in termini di matrici di Pauli:

\tilde{a_0} = \begin{pmatrix} a_0&0 \\ 0&a_0 \end{pmatrix}

\tilde a  = \begin{pmatrix} a_3&a_1-i a_2 \\ i a_2+a_1&-a_3   \end{pmatrix}

\tilde{B} = \begin{pmatrix} i B_3&B_2+i B_1 \\ i B_1-B_2&-i B_3 \end{pmatrix}

\tilde{t} = \begin{pmatrix} i t&0 \\ 0&i t \end{pmatrix}

le quali si sommano dando origine ad una matrice complessa con 8 parametri, quelli appunto necessari all’algebra geometrica per descrivere gli elementi dello spazio 3D.

Il fatto che l’algebra delle matrici di Pauli, poste a fondamento della meccanica quantistica, trovino una rappresentazione geometrica, fa ben sperare in una interpretazione più intuitiva rispetto alla fredda “meccanica delle matrici”.

Ad esempio la relazione di commutazione canonica
\sigma_1 \sigma_2 - \sigma_2 \sigma_1 = 2 i \sigma_3
può essere messa in corrispondenza con l’espressione dell’AG
e_1e_2 - e_2e_1 = 2i e_3
infatti rielaborandola, otterremo la verifica:
e_1e_2 + e_1e_2 = 2 e_1e_2 = 2 (e_1e_2e_3) e_3

La formulazione di Pauli usava un vettore di matrici
\pmb \sigma = (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)
da associare al vettore
\pmb u = u_1 e_1 + u_2 e_2 + u_3 e_3
per mezzo della matrice
\pmb \sigma \cdot \pmb u = u_1 \sigma_1 + u_2 \sigma_2 + u_3 \sigma_3

La seguente identità riveste particolare importanza nell’algebra di Pauli:

(\pmb \sigma \cdot \pmb u)(\pmb \sigma \cdot \pmb v) = (\pmb u \cdot \pmb v) I + i\: \pmb \sigma \cdot (\pmb u \times \pmb v)

ma bisogna ammettere che è un modo veramente oscuro di esprimere un’idea semplice, se espressa in AG: la sua identità fondamentale e cioè il prodotto geometrico:

\pmb u \pmb v = \pmb u \cdot \pmb v + \pmb u \wedge \pmb v

L’equazione di Pauli, qui nella versione semplificata con un solo elettrone stazionario in un campo magnetico spazialmente uniforme e variabile nel tempo, si può applicare anche ad altre particelle, ad esempio nuclei atomici, ed è alla base della risonanza magnetica nucleare.

Confrontiamo le espressioni della teoria di Pauli secondo il formalismo classico e l’AG (la costante \gamma è il rapporto giromagnetico dell’elettrone).

algebra vettoriale classicaalgebra geometrica
Spin\psi = \begin{bmatrix} a_0 + i a_3 \\ -a_2 + i a_1 \end{bmatrix}\Psi = a_0 + \sum a_k I e_k (*)
Campo magnetico\pmb b\pmb B = - \pmb b^*
Equazione di Pauli\begin{equation} \frac{d\psi(t)}{dt} = i \frac{1}{2} \gamma (\pmb \sigma \cdot \pmb b(t)) \psi(t)\begin{equation} \frac{d\Psi(t)}{dt} = \frac{1}{2} \gamma \pmb B(t) \Psi(t)

(*) siccome a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 1 si tratta di un rotore e dunque = e^{-i\theta/2}

La teoria di Pauli, per quanto corretta, non teneva conto della teoria della relatività e quindi fu estesa dal fisico inglese Paul Dirac appena un anno dopo. Anche questa versione faceva uso di matrici e impiegava il formalismo classico. La teoria di Dirac dell’elettrone relativistico si traduce in un’algebra geometrica stavolta a quattro dimensioni, per tenere conto della relatività: è insomma un’algebra dello spaziotempo \mathbb{G}^{1,3}

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