Risoluzione geometrica delle equazioni di terzo grado ridotte

Leggere il PDF: Le equazioni di terzo grado – di Salvatore Mattina

Per ricercare geometricamente le soluzioni delle equazioni di terzo grado in forma ridotta x^3 + px + q = 0 utilizziamo un foglio geogebra che abbiamo predisposto.
Analogamente a quanto abbiamo detto per la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado, avremo due sliders per i coefficienti e altri due per gestire il raggio e l’angolo della nostra incognita.

Qualunque sia la combinazione dei coefficienti, notiamo che mentre l’angolo \theta spazza tutto l’intervallo da -180^\circ a 180^\circ, il segmento verde (che corrisponde al termine lineare), compie un giro mentre quello blu (che corrisponde al termine cubico) compie tre giri. La situazione ricorda un poco il sistema tolemaico, con i suoi deferenti e gli epicicli ed infatti la curva descritta dal vertice, con \rho fissato, è una epitrocoide a due lobi.

Conviene innanzitutto ricercare le soluzioni reali, quindi porre lo slider dell’angolo \theta sui valori 0^\circ (soluzioni reali positive) e poi -180^\circ oppure 180^\circ per le eventuali soluzioni reali negative. Una volta individuata la soluzione o le soluzioni reali, si potranno ricercare le rimanenti, in accordo con la seguente tabella:

\Delta < 0\Delta = 0\Delta > 0
soluzioni realitre, distintetre, almeno due coincidentiuna sola

Esiste un metodo che semplifica la ricerca delle coppie di soluzioni complesse: basta risolvere questo triangolo:

Troveremo che valgono le seguenti relazioni:
\beta = \pi - \theta
\gamma = 2 \pi - (\pi - \theta) - 3 \theta = \pi - 2 \theta
\alpha = \pi - (\pi - \theta) - (\pi - 2 \theta) = 3 \theta - \pi

quindi la relazione che caratterizza il triangolo soluzione dell’equazione ridotta di terzo grado è
2 \beta - \gamma = \pi
o anche
\theta = \pi / 2 - \gamma /2
e basterà applicare il teorema dei seni per trovare r in funzione di \theta:

\begin{equation} \frac{pr}{\sin \alpha} = \frac{q}{\sin \gamma}

\begin{equation} \frac{pr}{\sin (3 \theta - \pi)} = \frac{q}{\sin (\pi - 2 \theta)}

\begin{equation} r = \frac{q \sin (3 \theta - \pi)}{p \sin (\pi - 2 \theta)}

Esempio 1: delta positivo e dunque una sola soluzione reale

x^3 + 2x + 3 = 0
\Delta = 2.6
x_1 = -1
x_{2,3} = (1 \pm i \sqrt 11) / 2

La soluzione con \rho = -1
Le due soluzioni complesse coniugate: derivano da due rami diversi della curva e sono dunque distinte

Esempio 2: simile al precedente

x^3 - x + 2 = 0
\Delta = 0.96
x_1 = -1.52
x_{2,3} = 0.761 \pm i 0.858

La soluzione con \rho = 1.55
Le due soluzioni complesse coniugate

Esempio 3: delta negativo e quindi tre soluzioni reali

x^3 - x = 0
\Delta = -1/27
x_1 = 0; x_2 = -1; x_3 = +1

Le due soluzioni con \rho = 1 (derivano da due distinti rami della curva) e la soluzione degenere x = 0

Esempio 4: simile alla precedente ma con tre curve distinte

x^3 - 6x + 4 = 0
\Delta = -4.2
x_1 = 2
x_{2,3} = -1 \pm \sqrt 3

La soluzione con \rho=2
La soluzione con \rho = \sqrt 3 -1
La soluzione con \rho = -1 - \sqrt 3

Esempio 5: simile a (1) e (2)

x^3 + 6x - 7 = 0
\Delta = 81/4
x_1 = 1
x_{2,3} = (-1 \pm 3i \sqrt 3) / 2

La soluzione con \rho = 1
Le due soluzioni complesse coniugate

Esempio 6: delta nullo, quindi tre soluzioni reali e almeno due coincidenti

x^3 - 3x - 2 = 0
\Delta = 0
x_1 = x_2 = -1
x_3 = 2

Le due soluzioni coincidenti con \rho = -1: la curva non mostra un nodo, bensì un punto di stazionamento sull’asse reale, che quindi ha molteplicità doppia. [Dimostrare che in questo caso si tratta di una epicicloide (?)]
La soluzione con \rho = 2

L’unica equazione con tre soluzioni reali coincidenti è nella forma (x-k)^3=0, che nella trasformazione in forma ridotta diventa x^3 = 0 la cui soluzione è un punto nell’origine con molteplicità 3.