Leggere il PDF: Le equazioni di terzo grado – di Salvatore Mattina
Per ricercare geometricamente le soluzioni delle equazioni di terzo grado in forma ridotta utilizziamo un foglio geogebra che abbiamo predisposto.
Analogamente a quanto abbiamo detto per la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado, avremo due sliders per i coefficienti e altri due per gestire il raggio e l’angolo della nostra incognita.
Qualunque sia la combinazione dei coefficienti, notiamo che mentre l’angolo spazza tutto l’intervallo da a , il segmento verde (che corrisponde al termine lineare), compie un giro mentre quello blu (che corrisponde al termine cubico) compie tre giri. La situazione ricorda un poco il sistema tolemaico, con i suoi deferenti e gli epicicli ed infatti la curva descritta dal vertice, con fissato, è una epitrocoide a due lobi.
Conviene innanzitutto ricercare le soluzioni reali, quindi porre lo slider dell’angolo sui valori (soluzioni reali positive) e poi oppure per le eventuali soluzioni reali negative. Una volta individuata la soluzione o le soluzioni reali, si potranno ricercare le rimanenti, in accordo con la seguente tabella:
soluzioni reali | tre, distinte | tre, almeno due coincidenti | una sola |
Esiste un metodo che semplifica la ricerca delle coppie di soluzioni complesse: basta risolvere questo triangolo:
Troveremo che valgono le seguenti relazioni:
quindi la relazione che caratterizza il triangolo soluzione dell’equazione ridotta di terzo grado è
o anche
e basterà applicare il teorema dei seni per trovare in funzione di :
Esempio 1: delta positivo e dunque una sola soluzione reale
Esempio 2: simile al precedente
Esempio 3: delta negativo e quindi tre soluzioni reali
Esempio 4: simile alla precedente ma con tre curve distinte
Esempio 5: simile a (1) e (2)
Esempio 6: delta nullo, quindi tre soluzioni reali e almeno due coincidenti
L’unica equazione con tre soluzioni reali coincidenti è nella forma , che nella trasformazione in forma ridotta diventa la cui soluzione è un punto nell’origine con molteplicità 3.