Risoluzione geometrica delle equazioni di terzo grado ridotte

Leggere il PDF: Le equazioni di terzo grado – di Salvatore Mattina

Per ricercare geometricamente le soluzioni delle equazioni di terzo grado in forma ridotta $x^3 + px + q = 0$ utilizziamo un foglio geogebra che abbiamo predisposto.
Analogamente a quanto abbiamo detto per la risoluzione geometrica delle equazioni di secondo grado, avremo due sliders per i coefficienti e altri due per gestire il raggio e l’angolo della nostra incognita.

Qualunque sia la combinazione dei coefficienti, notiamo che mentre l’angolo $\theta$ spazza tutto l’intervallo da $-180^\circ$ a $180^\circ$ , il segmento verde (che corrisponde al termine lineare), compie un giro mentre quello blu (che corrisponde al termine cubico) compie tre giri. La situazione ricorda un poco il sistema tolemaico, con i suoi deferenti e gli epicicli ed infatti la curva descritta dal vertice, con $\rho$ fissato, è una epitrocoide a due lobi.

Conviene innanzitutto ricercare le soluzioni reali, quindi porre lo slider dell’angolo $\theta$ sui valori $0^\circ$ (soluzioni reali positive) e poi $-180^\circ$ oppure $180^\circ$ per le eventuali soluzioni reali negative. Una volta individuata la soluzione o le soluzioni reali, si potranno ricercare le rimanenti, in accordo con la seguente tabella:

	$\Delta < 0$	$\Delta = 0$	$\Delta > 0$
soluzioni reali	tre, distinte	tre, almeno due coincidenti	una sola

Esiste un metodo che semplifica la ricerca delle coppie di soluzioni complesse: basta risolvere questo triangolo:

Troveremo che valgono le seguenti relazioni:
$\beta = \pi - \theta$
$\gamma = 2 \pi - (\pi - \theta) - 3 \theta = \pi - 2 \theta$
$\alpha = \pi - (\pi - \theta) - (\pi - 2 \theta) = 3 \theta - \pi$

quindi la relazione che caratterizza il triangolo soluzione dell’equazione ridotta di terzo grado è
$2 \beta - \gamma = \pi$
o anche
$\theta = \pi / 2 - \gamma /2$
e basterà applicare il teorema dei seni per trovare $r$ in funzione di $\theta$ :

$\begin{equation} \frac{pr}{\sin \alpha} = \frac{q}{\sin \gamma}$

$\begin{equation} \frac{pr}{\sin (3 \theta - \pi)} = \frac{q}{\sin (\pi - 2 \theta)}$

$\begin{equation} r = \frac{q \sin (3 \theta - \pi)}{p \sin (\pi - 2 \theta)}$

Esempio 1: delta positivo e dunque una sola soluzione reale

$x^3 + 2x + 3 = 0$
$\Delta = 2.6$
$x_1 = -1$
$x_{2,3} = (1 \pm i \sqrt 11) / 2$

Le due soluzioni complesse coniugate: derivano da due rami diversi della curva e sono dunque distinte

Esempio 2: simile al precedente

$x^3 - x + 2 = 0$
$\Delta = 0.96$
$x_1 = -1.52$
$x_{2,3} = 0.761 \pm i 0.858$

Esempio 3: delta negativo e quindi tre soluzioni reali

$x^3 - x = 0$
$\Delta = -1/27$
$x_1 = 0; x_2 = -1; x_3 = +1$

Le due soluzioni con $\rho = 1$ (derivano da due distinti rami della curva) e la soluzione degenere $x = 0$

Esempio 4: simile alla precedente ma con tre curve distinte

$x^3 - 6x + 4 = 0$
$\Delta = -4.2$
$x_1 = 2$
$x_{2,3} = -1 \pm \sqrt 3$

Esempio 5: simile a (1) e (2)

$x^3 + 6x - 7 = 0$
$\Delta = 81/4$
$x_1 = 1$
$x_{2,3} = (-1 \pm 3i \sqrt 3) / 2$

Esempio 6: delta nullo, quindi tre soluzioni reali e almeno due coincidenti

$x^3 - 3x - 2 = 0$
$\Delta = 0$
$x_1 = x_2 = -1$
$x_3 = 2$

Le due soluzioni coincidenti con $\rho = -1$ : la curva non mostra un nodo, bensì un punto di stazionamento sull’asse reale, che quindi ha molteplicità doppia. **[Dimostrare che in questo caso si tratta di una epicicloide (?)]**

L’unica equazione con tre soluzioni reali coincidenti è nella forma $(x-k)^3=0$ , che nella trasformazione in forma ridotta diventa $x^3 = 0$ la cui soluzione è un punto nell’origine con molteplicità 3.