Difetti del prodotto vettoriale

La semplice constatazione che il prodotto vettoriale è rappresentato da un vettore lungo quanto un’area ci fa capire che non abbiamo a che fare con un concetto matematicamente ben fondato.

Il prodotto vettoriale non è invertibile: la sola conoscenza di uno dei due vettori e del prodotto risultante non ci permette di risalire univocamente al secondo vettore.

Infatti, se rappresentiamo due vettori \pmb{a} e \pmb{b} ed il loro prodotto vettoriale, ci accorgiamo che possiamo individuare infiniti vettori di lunghezza e direzione diversa che lasciano invariata la quantità \pmb{b} \sin \theta
Questi possibili vettori definiscono una retta (in verde).


E ancora: il prodotto vettoriale funziona solo in 3D (richiedendo la terza dimensione per il vettore risultante). In dimensioni superiori non è neppure definito perché ci sono infiniti vettori perpendicolari ad un piano dato.

Altro svantaggio: il prodotto vettoriale non è associativo e non è dotato di elemento neutro, infatti non esiste alcun vettore \pmb{u} tale che \pmb{v} \times \pmb{u} = \pmb{v}

Vi sono poi alcune riflessioni:
Perché mai introdurre un vettore perpendicolare al piano individuato dai due fattori?
Perché è necessaria la regola della mano destra? La Natura in qualche modo predilige le terne destrorse rispetto a quelle sinistrorse? Eppure sappiamo che la fisica è totalmente simmetrica, a parte un caso particolarissimo!

Il calcolo del prodotto vettoriale in base alle componenti si ottiene agevolmente impostando la seguente matrice e calcolando il determinante:

\pmb{a} \times \pmb{b} = \begin{bmatrix} \^i & \^j & \^k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix}

per semplificare, diciamo che i due vettori giacciono nel piano ij e quindi l’unica componente non-nulla sarà la k, proprio come ci aspettiamo ed i coefficienti saranno in forma mista con alternanze di segni:

\pmb{a} \times \pmb{b} = \^k \begin{bmatrix} a_1 & a_2  \\ b_1 & b_2 \end{bmatrix} = \^k (a_1b_2-a_2b_1)

Se invece i due vettori da moltiplicare non giacciono nel piano, allora l’espressione completa sarà:

\pmb{a} \times \pmb{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\^i - (a_1b_3 - a_3b_1) \^j + (a_1b_2 - a_2b_1)\^k

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