L’algebra geometrica 2D

In due dimensioni l’algebra geometrica, indicata come \mathbb{G}_2 o anche Cl_2 in quanto basata sulla teoria delle algebre di Clifford, è generata dalle basi e_1 ed e_2 che si combinano per contrazione ed estensione, ovvero per prodotto scalare e prodotto esterno.

e_1 e_1 = e_1 \cdot e_1 + e_1 \wedge e_1 = 1 + 0 = 1 (scalare)
e_1 e_2 = e_1 \cdot e_2 + e_1 \wedge e_2 = 0 + e_1_2 (bivettore)

dato che l’algebra geometrica NON è commutativa, vale la pena anche calcolare:

e_2 e_1 = e_2 \cdot e_1 + e_2 \wedge e_1 = 0 + e_2_1 = - e_1e_2 (bivettore opposto)
e_1_2 e_1 = -e_2
e_1_2 e_2= e_1

ed il prodotto più interessante di tutti:

e_1_2 e_1_2 = e_1e_2e_1e_2 = -1

Diciamo interessante perché ci mostra due cose:

  • il quadrato del bivettore vale -1 e pertanto può essere assimilato all’unità immaginaria i, anche se per cautela lo indicheremo con un simbolo diverso: I maiuscolo
  • l’algebra geometrica \mathbb{G}_2 è chiusa, cioè il tentativo di estendere gli elementi di grado 2 mediante prodotto esterno porta al collasso in gradi inferiori

Riassumendo, in due dimensioni l’algebra geometrica è formata dalle seguenti basi:

che concorrono a formare il multivettore

M = a + \underbrace{v_1e_1 + v_2e_2}_\text{vector} + b_1e_1e_2

La sottoalgebra pari: i numeri complessi generalizzati

E’ interessante notare che in G_2 possiamo vedere una sottoalgebra pari, formata dagli elementi di grado pari (scalari e bivettori). E’ sottoalgebra perché gli elementi di grado pari sono un insieme chiuso rispetto a somma e moltiplicazione.

I ben noti vettori e la sottoalgebra pari, che abbiamo chiamato numeri complessi generalizzati, sono due sottoinsiemi dell’algebra geometrica 2D. Scopriamo quali interazioni esistono fra questi due mondi.

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