Un nuovo prodotto – Algebra geometrica

Dopo avere definito gli elementi dell’algebra geometrica come combinazioni delle sue basi, viene la curiosità di vedere come risulta espresso il prodotto di due vettori. Assumiamo di trovarci nello spazio tridimensionale ma per comodità di calcolo i due vettori giacciono nel piano $e_1 e_2$ :

$\pmb{a} = a_1 e_1 + a_2 e_2$
$\pmb{b} = b_1 e_1 + b_2 e_2$

$\pmb{ab} = a_1 e_1 b_1 e_1 + a_1 e_1 b_2 e_2 + a_2 e_2 b_1 e_1 + a_2 e_2 b_2 e_2 =$
$= (a_1 b_1 + a_2 b_2) + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \: e_1 e_2$

Il primo addendo ha un’aria familiare: vediamo subito che si tratta del prodotto scalare dei due vettori.
L’altro addendo, invece, ci ricorda qualcosa di già visto, ma non è proprio lui. Sembra un prodotto vettoriale mascherato. Infatti il prodotto vettoriale tra $\pmb{a}$ e $\pmb{b}$ , se lo vogliamo esprimere per mezzo delle coordinate dei vettori, vale

$\pmb{a} \times \pmb{b} = (a_1 b_2 - a_2 b_1)\: e_3$

dove il versore $e_3$ ci ricorda che il vettore risultante è perpendicolare al piano dei fattori ed è orientato con la regola della mano destra (terna destrorsa).

In altre parole il secondo addendo ha la stessa grandezza (intensità, magnitudine) del prodotto vettore, ma non è immaginato in un piano perpendicolare, bensì giace nel piano stesso dei due fattori ed è un bivettore, cioè l’area da loro stessi generata per estensione.
Potremmo a questo punto scrivere l’espressione completa del prodotto geometrico tra vettori:

$\pmb{ab} &=& \pmb{a} \cdot \pmb{b} + \pmb{a} \wedge \pmb{b}$

se proprio siamo affezionati al “vecchio” prodotto vettore, dobbiamo trasformare il bivettore base $e_1 e_2$ nella base $e_3$ . Si ottiene questo risultato con l’operatore di dualità, come vedremo più avanti.
Il risultato notevole è $\pmb{a} \wedge \pmb{b} = - I \: (\pmb{a} \times \pmb{b})$ ovvero l’espressione inversa: $\pmb{a} \times \pmb{b} = I\: (\pmb{a} \wedge \pmb{b})$

E diciamo pure che questo risultato è sorprendente: nell’algebra geometrica il prodotto di due vettori genera un numero composto da uno scalare ed un bivettore e quindi assomiglia terribilmente ad un numero complesso che ha come parte reale il prodotto scalare e come parte immaginaria il modulo del prodotto vettoriale.

Il prodotto geometrico nei calcoli si comporta abbastanza bene, ma ha una peculiarità cruciale:

ma non possiamo nemmeno dire che sia anticommutativo, perché il prodotto geometrico è composto da due parti: una che commuta (il prodotto scalare) e l’altra che anticommuta (il prodotto esterno).

E’ utile, a questo punto estrarre dal prodotto geometrico i due componenti: sarà molto utile nei calcoli.

$\begin{equation} \pmb{a} \cdot \pmb{b} = \frac {1}{2} (\pmb{ab} + \pmb{ba})$
$\begin{equation} \pmb{a} \wedge \pmb{b} = \frac {1}{2} (\pmb{ab} - \pmb{ba})$

Un’ultima definizione: il prodotto esterno di un certo numero di vettori linearmente indipendenti prende il nome di blade. Esso è certamente un multivettore, ma non è detto che un multivettore sia un blade. Ad esempio in quattro dimensioni il multivettore $e_0e_1 + e_2e_3$ non è un blade perché non può essere espresso come prodotto esterno di vettori.
Se i vettori sono ortogonali, si può dire con una piccola variazione che la blade è il prodotto geometrico di $k$ vettori non nulli.

$(AB)C = A(BC)$	è associativo
$\lambda A = A \lambda$	la moltiplicazione con lo scalare è commutativa
$A(B+C) = AB+AC$	è distributivo rispetto alla somma
In generale $AB \neq BA$	NON è commutativo!