La fisica del Novecento, soprattutto dopo la teoria della relatività generale, si è evoluta verso una “geometrizzazione della fisica”. Alcuni hanno persino coniato l’espressione geometrodinamica per sottolineare il fatto che l’equazione centrale della relatività generale esprime il legame tra il tensore energia-impulso e come viene modificata di conseguenza la geometria dello spaziotempo circostante.
Più astratto, invece, è stato il decorso della fisica quantistica, la quale invece si è cristallizzata in spazi matematici più che fisici (es. lo spazio di Hilbert), con abbondante uso di operatori e di grandezze immaginarie che non hanno avuto tentativi di interpretazione geometrica.
Si è affermata così l’idea che la non-commutatività fosse una peculiarità della fisica quantistica e l’idea che le matrici fossero lo strumento necessario per padroneggiarla.
L’algebra geometrica, invece, porta la geometria e la non-commutatività direttamente nel DNA delle espressioni algebriche.
Ecco i principali vantaggi di questo approccio:
- supera la limitazione del prodotto scalare oltre lo spazio 3D
- chiarisce l’ambiguità tra vettori e pseudovettori
- esprime l’unità immaginaria sia come oggetto geometrico che come operatore di rotazione o di dualità, riuscendo ad estendere l’analisi complessa oltre il 2D
- esprime le rotazioni e le trasformazioni di Lorentz con semplici moltiplicazioni algebriche
- unifica il linguaggio della meccanica classica con quello della meccanica quantistica (uso di spinori ed operatori di proiezione spiegati in senso geometrico)
- riconduce le matrici di Pauli e di Dirac alle basi dell’algebra geometrica rispettivamente e
Una nota preliminare riguarda le unità di misura: l’analisi dimensionale in fisica è molto importante e permette di controllare la correttezza di un calcolo o addirittura di ricavare certe espressioni partendo da considerazioni dimensionali.
Con una battuta, la fisica è un linguaggio fortemente tipizzato.
Detto questo, però, l’uso di più grandezze accorpate nello stesso multivettore non è proibito, purché si tenga ben presente che l’unità di misura fa parte del coefficiente (il quanto) e non della base (il cosa).
Ad esempio un bivettore può risultare espresso in metri quadri, ma non significa che l’unità bivettore esprima un’area (il quanto), esprime invece un piano (quale giacitura? quale orientazione?) e dunque va inteso come .
A proposito di bivettori, abbiamo già detto che l’AG sostituisce ai prodotti vettoriali i bivettori, ma occorre fare attenzione alle unità di misura: ad esempio il vettore assiale velocità angolare definito con la regola della mano destra andrà meglio espresso come prodotto esterno (wedge) tra il raggio e la velocità: ma così facendo l’unità di misura sarebbe , allora lo dobbiamo ridefinire come:
In linea molto generale, per approcciare i problemi di fisica utilizzando l’algebra geometrica, si deve:
- utilizzare l’oggetto geometrico adeguato per la grandezza fisica in esame (vedi tabella)
- sostituire il prodotto vettore con il wedge, eventualmente ragguagliando l’unità di misura
- per comodità di calcolo, sostituire ai bivettori la loro espressione duale, ovvero