I vantaggi dell’AG

I numeri vengono geometrizzati

La grammatica della Natura è un discorso fatto di numeri e di operazioni fra numeri.
In questa visione possiamo seguire due approcci opposti:

1) asciugare i numeri il più possibile, lasciandogli soltanto la proprietà della magnitudo, sotto forma di numero reale e rendendo molto articolate le operazioni tra di essi. Ad esempio il prodotto di due numeri complessi diventa:
z_1 = a + ib
z_2 = c + id
z_1 z_2 = (ac-bd) + i(ad+bc)

2) arricchire il concetto di numero incorporandovi proprietà geometriche, il che semplifica moltissimo le operazioni tra di essi. Ad esempio il numero complesso è una rotazione e dunque il prodotto di due numeri complessi è la somma delle rotazioni.

L’esempio più eclatante è senz’altro la riduzione delle quattro equazioni di Maxwell ad una sola.

Le dimensioni scalano senza problemi

L’algebra di Gibbs e Heaviside è un po’ zoppicante a proposito delle dimensioni: il prodotto vettoriale non è definito in 2D e funziona solo in 3D. Il prodotto geometrico, invece, è definito in qualsiasi dimensione e tutte le operazioni definite nell’AG scalano in qualsiasi numero di dimensioni.

La non-commutatività

Il fatto che l’algebra geometrica non sia commutativa viene visto come un grosso problema: l’espressione ab - ba non si può semplificare a zero, perché i due addendi non sono uguali.
Da problema, tuttavia, le caratteristiche di non commutatività si rivelano una lungimirante e fedele rappresentazione del mondo fisico (ad esempio le rotazioni in 3D) e sono alla base della formulazione degli operatori nella fisica quantistica.
Del resto, anche l’algebra delle matrici è non-commutativa e nonostante questo – o forse esattamente per questo motivo – si trova come fondamento dei corsi di algebra lineare.

Largo ai sottospazi

Nell’algebra lineare e nelle sue applicazioni fisiche si è affermato storicamente l’uso dei sottospazi di dimensione 1, ovvero i vettori. Per qualche oscura ragione i sottospazi di dimensione 2 (i piani) e 3 (i volumi) sono sempre stati manipolati utilizzando indirettamente i vettori.
Finalmente, con l’algebra geometrica, i sottospazi di qualunque dimensione hanno un’esistenza a sé e possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e persino divisi.

I numeri complessi non hanno nulla di misterioso o di mistico: sono operatori di rotodilatazione oppure trasformazioni di dualità.

Per secoli li abbiamo avuti davanti al naso e – in quanto rotazioni – non avevano niente di magico, ma la nostra forma mentis era fissata sulle coordinate, cioè sui punti di un qualche spazio. Persino dopo la loro scoperta, i numeri complessi sono stati ingabbiati nel piano di Argand-Gauss, ma la loro potenza si esprime al meglio quando vengono considerati come operatori di rotazione.

Il secondo aspetto che spiega la presenza dell’unità immaginaria nelle formule impiegate in fisica, soprattutto in meccanica quantistica, è l’operazione di dualità. In questo caso non abbiamo a che fare con rotazioni, ma con la trasformazione di una entità nel sottospazio perpendicolare (complemento ortogonale). Quindi la dualità in 3D, cioè la moltiplicazione per I trasforma un vettore nel piano perpendicolare e viceversa (a meno del segno).

Il cerchio si chiude

Nell’AG il prodotto tra due vettori, così malamente impostato nell’approccio ordinario, non solo è pienamente definito ed invertibile, ma conduce direttamente ai numeri complessi.

Vettori e numeri complessi

L’AG riesce a superare quell’orribile pastrocchio che si vede in alcuni ambiti dell’ingegneria, ad esempio nelle correnti alternate, dove c’è una commistione di vettori e numeri complessi. Ad esempio l’espressione usata per il calcolo della potenza elettrica
S = V I^*
non ha spiegazione valida nel contesto dei numeri complessi. Addirittura per giustificarla Steinmetz arrivò ad affermare che, quando si parla di potenza elettrica, l’unità immaginaria al quadrato vale +1.
Tutto questo, finalmente, acquista totale chiarezza alla luce dell’AG.

L’AG è l’espressione più generale di sistemi già noti

Infatti include come sottoalgebre i sistemi finora percepiti come distinti:
– i numeri scalari
– i vettori
– i numeri complessi (sottoalgebra pari di \mathbb{G}^2)
– i quaternioni (sottoalgebra pari di \mathbb{G}^3)
– le matrici di spin di Pauli.

La regola della mano destra

Nello studio dell’elettromagnetismo ci sono apparenti deviazioni dalla simmetria e sono la regola della mano destra (valida per i generatori) e quella della mano sinistra (per i motori). In realtà le equazioni dell’elettromagnetismo non hanno alcuna chiralità intrinseca e l’AG lo mostra chiaramente!

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