Una diversa definizione di angolo

Abbiamo visto uno dei più interessanti risultati dell’algebra geometrica: ricondurre i numeri complessi all’operazione di rotazione, espressa per mezzo del rotore U = e^{-i \theta}.
Questo fa sì che la funzione e^x sia interpretata diversamente a seconda dal tipo di oggetto rappresentato dall’incognita.
Se si tratta di uno scalare avremo l’ordinaria esponenziale, ma se si tratta di un bivettore, allora avremo un operatore di rotazione. Resta da capire l’unità di misura di questo bivettore.

A questo proposito osserviamo un’anomalia: le funzioni circolari hanno come argomento un arco (in rosso), mentre in quelle iperboliche l’argomento è il doppio dell’area evidenziata in giallo (il settore iperbolico).

Le funzioni goniometriche circolari e iperboliche sono definite con argomenti di tipo diverso

Proviamo a ripensare il concetto di rotazione: che significa ruotare di un angolo \theta ? Come lo scegliamo? Come lo visualizziamo?

Tipicamente l’angolo è l’unità adimensionale definita in un cerchio come il rapporto tra la lunghezza dell’arco ed il raggio: \theta = {l}/{r}. L’angolo giro vale dunque:

\begin{equation} \theta_{giro, lineare} = \frac{2 \pi r}{r} = 2 \pi \: \text{radianti}

Il radiante è per l’appunto l’anomala unità di misura (in realtà nel Sistema Internazionale è un numero puro) scelta per semplificare l’espressione delle funzioni goniometriche, in particolare del limite notevole:

\begin{equation} \lim_{\theta \to 0} = \frac{\sin \theta}{\theta} = 1

dal quale derivano poi espressioni altrettanto semplici, ad esempio

\begin{equation} \frac {d}{d\theta} \sin \theta = \cos \theta

o anche la loro espansione in serie:

\begin{equation} \sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} ...
\begin{equation} \cos \theta = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} ...

Se ci fossero altre definizioni di angolo, le espressioni precedenti si porterebbero dietro fattori di conversione e le loro potenze.

In linea di principio potremmo scegliere un’altra definizione, purché lasci l’argomento adimensionale. Ad esempio, rispettando la natura bivettoriale dell’angolo \theta, potremmo scegliere il rapporto tra l’area del settore circolare ed il quadrato del raggio:

\begin{equation} \theta_{giro, areale} = \frac{\pi r^2}{r^2} = \pi

Questo, però, come visto prima, sconvolgerebbe tutte le definizioni in uso, alterandone il valore numerico! Allora proponiamo una piccola modifica: l’angolo areale sia il doppio, quindi:

\begin{equation} \theta_{areale} = \frac{2 A}{r^2} = 2 \pi

dove A è l’area in figura, che quindi va a corrispondere perfettamente al settore utilizzato nelle funzioni iperboliche.

Per entrambe le situazioni, \theta = 2A

Le funzioni trigonometriche circolari sono definite così:

\begin{equation} \cos x = \frac{e^{i \theta }+e^{-i \theta}}{2}
\begin{equation} \sin x = \frac{e^{i \theta }-e^{-i \theta}}{2i}

e funzionano indipendentemente dall’interpretazione dell’angolo in modo lineare o areale.
Quanto alle funzioni iperboliche, sarebbe molto bello se avessero espressione strutturalmente simile:

\begin{equation} \cosh x = \frac{e^{ \theta }+e^{ -\theta}}{2}
\begin{equation} \sinh x = \frac{e^{ \theta }-e^{-\theta}}{2}

il che però avviene se e solo se l’angolo è preso come il doppio del settore iperbolico. In questo caso non abbiamo alcuna scelta e francamente è una interessante coincidenza che la cosa funzioni anche per la controparte circolare.

Per tutti questi motivi, avanziamo sommessamente la proposta di considerare gli angoli espressi in unità immaginarie i\theta, poiché rappresenta una rotazione di ampiezza definita \theta in un piano definito i. L’arco invece è invece rappresentato dall’espressione e^{i \theta} come spiegato in questa pagina.
Questo chiarisce l’anomalia di radiante e steradiante che sono annoverate tra le unità derivate del Sistema Internazionale, nel senso che hanno uno status ben definito e non si possono sommare ad altri numeri puri, eppure non hanno unità di misura.

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