La dualità – Algebra geometrica

Il concetto di dualità in fisica è estremamente interessante perché collega aspetti che si possono ritenere opposti, per mezzo di una corrispondenza che invece li porta ad identificarsi nell’aspetto formale, ovvero nelle equazioni.
In questo senso la dualità è la migliore traduzione del suggestivo concetto di coincidentia oppositorum della tradizione filosofica medievale.

Nella fisica la dualità si ritrova largamente nei fenomeni elettrici:

tensione – corrente
circuiti serie – circuiti parallelo
resistenza $R$ – conduttanza $G$
partitore di tensione – partitore di corrente
impedenza $Z$ – ammettenza $Y$
capacità $C$ – induttanza $L$
reattanza $X$ – suscettanza $B$
corto circuito – circuito aperto
legge di Kirchhoff ai nodi – legge di Kirchhoff alle maglie
teorema di Thévenin – teorema di Norton

Oltre che un interesse speculativo, il principio di dualità ha un risvolto pratico molto amato dagli studenti perché permette di memorizzare solo metà delle formule, perché quelle duali sono immediatamente ricavabili. Ad esempio il condensatore è caratterizzato da questa relazione costitutiva:

$\begin{equation} i_C = C \frac{d}{dt} V_C$

sapendo che l’induttanza è la grandezza duale della capacità e che anche tensione e corrente sono grandezze duali, la relazione duale si ricava immediatamente:

$\begin{equation} V_L = L \frac{d}{dt} i_L$

Infine il principio di dualità è un principio euristico, cioè serve per scoprire qualcosa di nuovo.
Nel 1825 il matematico francese Joseph Gergonne notò che per ogni teorema in geometria proiettiva che coinvolgeva linee e punti, ne corrispondeva uno duale, cioè ottenuto scambiando i ruoli di linee e punti. Ad esempio al teorema “due punti definiscono una linea” corrisponde “due linee si incontrano in un punto” oppure “tre punti definiscono un piano” corrisponde “tre piani si intersecano in un punto”.

Nell’algebra la nozione di dualità corrisponde al complemento ortogonale, ovvero al sottospazio formato da tutte le basi che non formano l’elemento.

La relazione di dualità talmente importante nell’AG da avere un simbolo dedicato $^*$ (star). Il duale di un multivettore si ottiene moltiplicando a destra per l’inverso dello pseudoscalare unitario $M^* = M I^{-1}$ (definizione usata da Hestenes e che ritroviamo nei testi di A. MacDonald – vedi riferimenti).
Altri autori, ad esempio Doran in [7], usano la definizione $M^* = M I$ che è equivalente.

Ad esempio il duale del piano individuato dalle basi
$(e_1 e_2)^* = - (e_1 e_2)(e_1 e_2 e_3) = e_3$
Se invece partiamo dal vettore $e_3$ dovremo utilizzare la trasformazione inversa $M = M^*I$ e quindi
$(e_3)(e_1 e_2 e_3) = e_1 e_2$
quindi occorre prestare attenzione alla direzione in cui stiamo effettuando l’operazione di dualità: da vettori a bivettori oppure il contrario.

Trasformazioni di dualità nell’algebra geometrica 3D

E’ interessante notare che laddove $I^2=-1$ , quindi in 2D e in 3D, il duale del duale di un elemento non coincide con l’elemento stesso: vi è un segno meno a fare la differenza. Ad esempio
$(e_2)^* = - I e_2 = - e_1e_2e_3\: e_2 = e_1e_3$
$(e_2)^{**} = (e_1e_3)^* = - I e_1e_3 = - e_1e_2e_3\: e_1e_3 = -e_2$
quindi servono due cicli di dualità per riportarci all’elemento originario.
In generale in uno spazio di dimensione $n$ avremo $M^{**} = (-1)^{n(n-1)/2} M$ .

Relazioni di dualità tra basi vettore e bivettore in 3D (i segni rispecchiano la definizione del duale $M^* = MI$ )

Relazioni di dualità tra basi vettore e bivettore in 3D (i segni rispecchiano la definizione del duale $M^* = MI$ )

La relazione di dualità è stata usata inconsapevolmente per decenni nell’algebra vettoriale: infatti i fantomatici vettori assiali non sono altro che bivettori mascherati, come si vede in figura

Relazioni di dualità usate nei vettori assiali

Come esercizio, calcoliamo il duale del prodotto esterno $\pmb{a} \wedge \pmb{b}$ :

$(\pmb{a} \wedge \pmb{b})^* = (\pmb{a} \wedge \pmb{b})\: I^{-1} = - (\pmb{a} \wedge \pmb{b}) \: I = - I (\pmb{a} \wedge \pmb{b})$

poiché in 3D lo pseudoscalare I commuta con ogni elemento. Dunque, svolgendo:

$(\pmb{a} \wedge \pmb{b})^* = - e_1e_2e_3 \: [(a_1 b_2 - a_2 b_1) e_1e_2 + (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_1e_3 + (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_2e_3]$
$= - (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3 + (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_2 - (a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1 =$
$= [(a_2 b_3 - a_3 b_2) e_1 - (a_1 b_3 - a_3 b_1) e_2 + (a_1 b_2 - a_2 b_1) e_3] = (\pmb{a} \times \pmb{b})$

Riconosciamo nell’espressione finale il classico prodotto vettoriale!
Dunque tra prodotto esterno e prodotto vettoriale c’è una relazione di dualità.
Vale anche la relazione inversa: $(\pmb{a} \times \pmb{b})^* = - (\pmb{a} \wedge \pmb{b})$

E’ importante sottolineare una differenza tra il duale di un multivettore ed il suo complemento ortogonale. Il duale mantiene una relazione di estensione e di orientazione col multivettore, ad esempio tra il piano ed il vettore ad esso perpendicolare, che avrà modulo proporzionale all’area del piano e orientazione coerente. Il complemento ortogonale, invece, essendo un sottospazio, si estende all’infinito e non è orientato.