i non è più immaginario

Quando abbiamo costruito l’algebra geometrica dello spazio abbiamo dimostrato che il quadrato di un bivettore unitario e_1e_2, ovvero l’unità di area orientata vale -1 e così pure il quadrato del volume unitario, ovvero il trivettore e_1e_2e_3

E’ davvero un risultato spiazzante: vai a spiegare in parole semplici com’è possibile che il quadrato di una entità geometrica tangibile valga un numero negativo! Per ora dobbiamo fermarci qui, ricordiamo solamente che è importantissimo il concetto di orientazione. Infatti nell’algebra geometrica non basta definire l’area come entità geometrica: è fondamentale il segno.

A questo punto la tentazione è fortissima:
il bivettore unitario e_1e_2 si identifica con l’unità immaginaria i dei numeri complessi?
quindi anche il trivettore unitario e_1e_2e_3 ?
se il quadrato di entrambi vale -1, rappresentano la stessa unità immaginaria?
Sono domande legittime, ma qui è necessaria un po’ di cautela.

Prima le notizia buone.
Riusciamo a fatica a contenere la soddisfazione di vedere finalmente che l’unità immaginaria i ha un corpo ed un comportamento.
Diciamo corpo per indicare che non si tratta più di una entità talmente astratta da risultare inesistente: ce l’abbiamo davanti agli occhi e lo è stata per secoli davanti agli occhi dei matematici.
L’unità immaginaria va identificata con la porzione unitaria del bivettore. E’ un pezzetto orientato di piano. Diciamo comportamento perché è ancora più interessante vedere l’effetto che fa sugli altri enti geometrici. Proviamo a giocarci un po’ usando come cavia un vettore generico, che moltiplicheremo per i = e_1e_2 prima a destra e poi a sinistra:

\pmb{a} = a_1 e_1 + a_2 e_2
\pmb{a}\: (e_1e_2) = a_1e_2 - a_2 e_1
(e_1e_2)\:\pmb{a} = - a_1e_2 + a_2 e_1

Quindi la moltiplicazione a destra per e_1e_2 (che ha orientazione antioraria) provoca una rotazione di \pi/2 in senso antiorario, mentre la moltiplicazione a sinistra inverte il senso della rotazione. Da questo punto di vista il bivettore e_1e_2 si differenzia da i perché non commuta, anzi anticommuta con i vettori.
Attenzione: noi siamo abituati a vedere l’operatore che “attacca” il suo operando da sinistra, ma in questo caso è l’operazione da destra che conserva l’orientazione!

Come abbiamo accennato prima, sottolineiamo una dualità interessantissima: ogni elemento dell’AG può essere visto come oggetto ma anche come operatore. A scuola i numeri complessi vengono visti quasi esclusivamente come oggetti, staticamente fissati nel piano di Argand-Gauss come punti cartesiani. Nell’AG, invece, acquistano una dimensione attiva, diventando operatori di rotodilatazione.
Una seconda accezione li vede come operatori di dualità, che trasformano elementi dell’algebra \mathbb{G}^n di grado r in elementi speculari di grado n-r.

La cattiva notizia è che non possiamo identificare quattro concetti distinti, anche se algebricamente si comportano in modo simile:

  • il bivettore unitario 2D e_1 e_2
  • i tre bivettori 3D e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1
  • il trivettore unitario 3D e_1 e_2 e_3
  • l’unità immaginaria i dei numeri complessi

Tutti questi elementi quadrano a -1, ma non basta per dire che sono la stessa cosa. Occorre infatti considerare la commutatività, che vale per i e per il trivettore e_1e_2e_3, ma non vale per i bivettori.

Dovremo quindi utilizzare simboli distinti e quindi manterremo la i per l’unità immaginaria, mentre useremo I per il trivettore 3D, visto che le proprietà coincidono. A volte si usa I anche per il bivettore in 2D, ma se il contesto non fosse chiaro, potrebbero essere impiegati i simboli I_{12} o I_{123}.
Molto usata per ragioni storiche anche la j dal mondo elettrotecnico (usando la i si fa confusione con la corrente!).

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