Difetti del prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori è dato dal modulo del primo per il componente del secondo lungo il primo (proiezione), ma siccome è una forma bilineare simmetrica, vale anche l’inverso, cioè la proiezione del primo sul secondo.
\pmb{a} \cdot \pmb{b} = |a| |b| \cos \alpha = \pmb{b} \cdot \pmb{a}

Il prodotto scalare combina due vettori in una grandezza scalare, il che fa immediatamente capire che la ricchezza della loro informazione spaziale viene persa.

Infatti, se rappresentiamo due vettori \pmb{a} e \pmb{b}, e la proiezione di \pmb{a} su \pmb{b}, ci accorgiamo che possiamo individuare infiniti vettori di lunghezza e direzione diversa, che lasciano invariata la proiezione.
Estendendo il ragionamento in tre dimensioni, ci accorgiamo che il luogo dei vettori con proiezione data su \pmb{a} è un piano perpendicolare ad \pmb{a} e passante per l’estremo della proiezione di un qualsiasi vettore su \pmb{a}.

Dal punto di vista algebrico, il calcolo del prodotto scalare è semplice: si tratta della somma dei prodotti delle componenti omonime:
\pmb{a} \cdot \pmb{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n

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