Il prodotto scalare tra due vettori è dato dal modulo del primo per il componente del secondo lungo il primo (proiezione), ma siccome è una forma bilineare simmetrica, vale anche l’inverso, cioè la proiezione del primo sul secondo.
![](https://geometrica.vialattea.net/wp-content/uploads/2020/12/scalare.png)
Il prodotto scalare combina due vettori in una grandezza scalare, il che fa immediatamente capire che la ricchezza della loro informazione spaziale viene persa.
Infatti, se rappresentiamo due vettori e
, e la proiezione di
su
, ci accorgiamo che possiamo individuare infiniti vettori di lunghezza e direzione diversa, che lasciano invariata la proiezione.
Estendendo il ragionamento in tre dimensioni, ci accorgiamo che il luogo dei vettori con proiezione data su è un piano perpendicolare ad
e passante per l’estremo della proiezione di un qualsiasi vettore su
.
![](https://geometrica.vialattea.net/wp-content/uploads/2021/02/invertibility.png)
Dal punto di vista algebrico, il calcolo del prodotto scalare è semplice: si tratta della somma dei prodotti delle componenti omonime: