Convenzioni – Algebra geometrica

Dato che l’AG è ancora in piena evoluzione, non è stato ancora raggiunto un modo comune di indicare gli elementi e le operazioni. Riportiamo quelli che secondo noi sono i più diffusi e hanno meno probabilità di generare confusione.

Simbolo	Spiegazione
$e_1, e_2 ... e_k$	vettori di una base ortonormale
$\pmb{v}, \pmb{w} ...$	vettore (lettera minuscola in grassetto)
$B, D ...$	bivettore
$I$	pseudoscalare unitario
$M^{-1}$	inverso di un multivettore M (nello spazio euclideo $M^{-1} = M^\dagger$ )
$M^\dagger$	coniugato (reverse) di un multivettore M; viene indicato anche con la tilde sovrascritta $\widetilde{M}$ , soprattutto nell’algebra dello spaziotempo
$M^*$	duale di un multivettore, ovvero la sua rappresentazione nel complemento ortogonale
$R = e^{-B\frac{\theta}{2}}$	rotore di ampiezza $\theta$ sul piano B (bivettore) coerente con l’orientazione di B
$R = e^{-i\pmb{n}\frac{\theta}{2}}$	rotore di ampiezza $\theta$ attorno all’asse $\pmb{n}$ (vale solo in 3D)
$M \mapsto RMR^{-1}$	rotazione generalizzata del multivettore M con rotore R

Il duale di un multivettore $A$ si definisce moltiplicandolo per lo pseudoscalare $I$ .
Ma “moltiplicare per $I$ ” nasconde tre ambiguità e per questo è necessario fissare una convenzione:

1. A destra o a sinistra? $AI$ oppure $IA$ . In 3D lo pseudoscalare commuta con tutto, quindi $AI = IA$ e questa scelta non cambia il segno. Ma in 2D e in dimensioni pari $I$ anticommuta coi vettori, quindi $vI = -Iv$ : lì la scelta destra/sinistra cambia il segno.
È la prima sorgente di ambiguità.

2. I oppure $AI^{-1}$ ? Alcuni autori definiscono il duale come $AI$ , altri come $AI^{-1}$ .
E $I^{-1} = \pm I$ a seconda della dimensione: in 3D $I^2 = -1$ , quindi $I^{-1} = -I$ . Quindi chi usa $I$ e chi usa $I^{-1}$ ottiene segni opposti già in 3D. Questa è la sorgente di segno più subdola, perché entrambe le convenzioni sono diffuse nei testi (Hestenes spesso usa $I^{-1}$ proprio per stabilizzare i segni).

3. L’orientazione di I stesso. $I = e_1e_2e_3$ oppure $I = e_3e_2e_1$ ?
Differiscono per segno. E in 4D entra anche l’ordine $e_0e_1e_2e_3$ vs altre permutazioni.

Fissiamo qui una volta per tutte la nostra convenzione, valida in tutto il sito:

pseudoscalare in ordine crescente: $I = e_1 e_2 e_3$ (in 3D);
duale definito come moltiplicazione a destra per $I^{-1}$ : $A^* = A\,I^{-1}$ ;
in 3D vale $I^2 = -1$ , quindi $I^{-1} = -I$ .

Con questa convenzione, la relazione tra prodotto esterno e prodotto vettoriale è: $\pmb{a}\times\pmb{b} = (\pmb{a}\wedge\pmb{b})\,I^{-1} = -(\pmb{a}\wedge\pmb{b})\,I$