Gli spinori – Algebra geometrica

Abbiamo visto che se prendiamo un vettore $\pmb{v}$ e lo riflettiamo rispetto al vettore $\pmb{a}$ e poi al vettore $\pmb{b}$ (in questo ordine) otteniamo una rotazione del vettore di un angolo doppio rispetto a quello tra $\pmb{a}$ e $\pmb{b}$ (in questo ordine).

Algebricamente si tratta di applicare due volte la riflessione rispetto ad un vettore, col noto prodotto a sandwich: $v' = b(ava^{-1})b^{-1} = (ba)v(ba)^{-1} = e^{-i\alpha}ve^{i\alpha}$

Quindi se vogliamo una rotazione pari ad $\alpha$ dovremo utilizzare un rotore $e^{i\frac{\alpha}{2}}$ che fu chiamato spinore da Wolfgang Pauli per il motivo che vedremo a breve.

Dunque abbiamo questa strana uguaglianza:

$\begin{equation}e^{-B\frac{\alpha}{2}} v e^{B\frac{\alpha}{2}} = (-e^{-B\frac{\alpha}{2}}) v (-e^{B\frac{\alpha}{2}})$

I due segni meno si elidono nel sandwich, quindi il rotore $R = e^{B\alpha/2}$ e il suo opposto $-R$ producono esattamente la stessa rotazione: stesso angolo, stesso verso. Eppure $R$ e $-R$ sono due oggetti algebrici distinti. Ecco il fatto sorprendente: a ogni rotazione fisica corrispondono due rotori, uno l’opposto dell’altro. (I matematici lo chiamano doppio rivestimento: il gruppo dei rotori “ricopre due volte” il gruppo delle rotazioni.)

Per capire come sia possibile, seguiamo il rotore mentre l’angolo $\alpha$ cresce:

per $\alpha \in [0, 2\pi]$ il corpo compie un giro completo e torna nella posizione di partenza. Ma il rotore $e^{B\alpha/2}$ ha percorso solo metà strada (l’esponente è arrivato a $B\pi$ ), e vale ora $-1$ : il rotore è diventato il suo opposto!
per $\alpha \in [2\pi, 4\pi]$ il corpo compie un secondo giro, fisicamente identico al primo. Solo alla fine di questo secondo giro ( $\alpha = 4\pi$ ) il rotore torna finalmente al valore iniziale $+1$ .

Lo si vede dal conto: aggiungere un giro fisico $2\pi$ all’angolo equivale a moltiplicare il rotore per $-1$ ,

$\begin{equation}e^{B\frac{\alpha+2\pi}{2}} = e^{B\pi}e^{B\frac{\alpha}{2}} = -e^{B\frac{\alpha}{2}}$

e solo dopo due giri si ritorna all’identità:

$\begin{equation}e^{B\frac{\alpha+4\pi}{2}} = e^{B\frac{\alpha}{2}}$

e quindi i rotori hanno periodicità $4\pi$ , il doppio delle rotazioni che rappresentano! Se gli spinori vi sembrano strani… è perché lo sono!!

E’ scolpito nelle convinzioni di ognuno che un oggetto ritorni allo stato iniziale dopo una rotazione di $2\pi$ , ma stavolta abbiamo a che fare con con oggetto che torna se stesso dopo due rotazioni.
La faccenda può essere mostrata col trucco di Dirac del piattino oppure della cintura, che lascerà sbalorditi gli spettatori come se fosse uno spettacolo di magia.

Questo fatto rende un po’ meno strano lo spin semi-intero degli elettroni.