La somma

Gli elementi di grado uno, vale a dire i vettori, si sommano con la classica regola del parallelogramma, ovvero si sommano algebricamente le componenti.

Per gli elementi di grado due, ovvero i bivettori, occorre procedere con più cautela.
Un bivettore è una porzione orientata di piano, quindi è caratterizzata da una grandezza (la misura dell’area) da un verso (dato dalla circuitazione) e dall’orientazione nello spazio. Sembra sorprendente, ma il bivettore non ha forma!
Infatti può essere pensato come un rettangolo oppure un cerchio o qualsiasi altra forma, il che ci risulta utile per la somma.

Immaginiamo di dover sommare due bivettori A e B, che giacciono su due piani P e Q che si incontrano lungo la linea L.
Possiamo modificare la forma di A e B in modo che siano generati da un vettore comune \pmb{c}, quindi:
A &=& \pmb{a} \wedge \pmb{c}
B &=& \pmb{b} \wedge \pmb{c}
Risulterà quindi
A+B = (\pmb{a} + \pmb{b}) \wedge \pmb{c}

Accanto al concetto di somma possiamo vedere quello di proiezione di un bivettore nelle sue componenti, aiutandoci col seguente box interattivo, dalla pagina di Marc ten Bosch.
Il prodotto esterno dei due vettori \pmb{a} e \pmb{b} genera un bivettore nello spazio tridimensionale (in blu). Questo può essere proiettato nei piani fondamentali ottenendo i tre bivettori componenti (in arancio, viola e giallo).

Provate a spostare i punti a e b ed osservate come variano le proiezioni. Le componenti dei vettori possono essere fissate scrivendole direttamente nei box bianchi. E’ anche possibile ruotare il punto di vista per capire meglio le relazioni geometriche tra gli elementi.

\pmb{a} \wedge \pmb{b} = (a_x e_1 + a_y e_2 + a_z e_3) \wedge (b_x e_1 + b_y e_2 + b_z e_3) =

a_x b_x \, e_1\wedge e_1 + a_x b_y \, e_1\wedge e_2 + a_x b_z \, e_1\wedge e_3 \,+
a_y b_x \, e_2\wedge e_1 + a_y b_y \, e_2\wedge e_2 + a_y b_z \, e_2\wedge e_3 \,+
a_z b_x \, e_3\wedge e_1 + a_z b_y \, e_3\wedge e_2 + a_z b_z \, e_3\wedge e_3

Ricordando i prodotti esterni dei versori:

otterremo finalmente che il bivettore blu B ha come componenti:

B_x_y = (a_x b_y - b_x a_y)
B_x_z = (a_x b_z - b_x a_z)
B_y_z = (a_y b_z - b_y a_z)

Esercizio: verificare che |a \wedge b|^2 = area_{xy}^2 + area_{yz}^2 + area_{zx}^2